瓶魔悖论与不完全信息

Jan 23rd, 2010 | 目录: 新知

The Bottle Imp 是一则有意思的短篇小说。某日,小说里的主人公遇上了一个怪老头。怪老头拿出一个瓶子,说你可以买走这个瓶子,瓶子里的妖怪就能满足你的各种愿望;但同时,持有这个瓶子会让你死后入地狱永受炼狱之苦,唯一的解法就是把这个瓶子以一个更低的价格卖给别人。如果你是小说里的主人公,你会不会买下这个瓶子呢?你会以什么价格买下这个瓶子呢?

以什么价格买入这个瓶子,这个问题貌似并不容易回答。你当然不愿意花太多的钱,在你的愿望被满足之前你至少还得给自己留一点钱花;但你也不能花太少的钱,否则你会承担着卖不出去的风险。但是,在做出一些理性的分析后,我们得出了一个惊人的结论:任何人都不应该以任何价格购买这个瓶子。

和很多博弈问题一样,这一系列的分析首先从最简单的情形开始。首先,你是绝对不能只出 1 分钱就买下这个瓶子的,因为这样的话这个瓶子就永远也卖不出去了——没有比 1 分钱更低的金额了。那么,用 2 分钱买瓶子呢?这样理论上貌似是可行的,但仔细一推敲你会发现还是有问题——这样你只能以 1 分钱卖掉这个瓶子,但没有人会愿意用 1 分钱去买瓶子(否则他就卖不掉了)。因此,用 2 分钱买下瓶子后,你同样找不到下一个买家。和上面的推理一样,用 3 分钱买这个瓶子也不是什么好主意,因为没有人愿意以 1 分钱或 2 分钱购入瓶子,因此你的瓶子不可能卖得掉。依此类推,你不应该以任何价钱去购买这个瓶子,因为每个人都知道,他无法以任何价格卖掉这个瓶子。

这个推理有意思就有意思在,它的结论和我们的生活直觉是相反的——花几万块或者更保险的,几百万块钱,去买这个瓶子,怎么想也不会是一个如此杯具的结果。但上述严格的推理为什么会得到一个看似荒谬的结果呢?这个推理有一个很强的前提条件,这也是很多趣味博弈问题的基础——假设每个人都是最聪明的,他们所做的决策都是最优的;并且每个人都知道,每个人都是最聪明的,都将选择自己的最优策略;并且每个人都知道,每个人都知道每个人是最聪明的;并且…… 这样无限循环下去。但现实生活中,这个假设明显不成立。或许每个人都绝顶聪明,但这一点并不是所有人都知道;即使所有人都知道,也不是每个人都知道所有人都知道。这就是所谓的不完全信息,它会对整个游戏的结果造成根本性的影响。

听一个朋友说,他在某堂经济学课上玩了一个非常有趣的游戏,那堂课的教授通过这个游戏完美地诠释了不完全信息。教授叫每个人在小纸条上写一个不超过 100 的正整数,然后交给助教。由助教当场统计所有同学所写的数的平均值,并约定所写的数最接近平均值的 2/3 的同学将在期末考试中获得额外的加分。例如,若所有同学所写的数平均值为 44 ,则写下 29 的全体同学都将在期末得到加分。如果是你,你打算写多少?

我们来看看,如果前面那个“人人都是聪明人”等一系列假设成立,最后的结果是什么。首先,你有理由猜测,大家所写的数随机分布在 1 到 100 之间,平均值大约在 50 上下。这样的话,你写下 50 的 2/3 ,即 33 ,应该是最合理的。且慢!不只是你,其他人当然也都想到了这一点,他们都会发现写下 33 是更好的选择。这样,你写下 22 便成为了一个更好的选择。不过,别人也会和你一样想到这一步,进而所有人都会考虑写下 22 的 2/3 也即 15 ……这样推下去,最后的结果是,所有人都会发现写下数字 1 是最好的结果。而事实上,这个结果也确实是最好的——在这种情况下所有人都将获胜,每个人都能得到期末加分。

能上这课的人固然不笨,并且大家或许也都清楚这一点。更有意思的是,后来的调查发现,当时的课堂上有很大一部分人以前就知道这个游戏,并以智力题的形式见过上面的分析。但真正敢写“1”的人几乎没有,因为信息是不透明的,你不知道别人能够想到多远,也不知道有没有写 100 的大傻子,也不知道有没有内鬼,等等。

在 The Bottle Imp 的例子中,情况也相同——谁也不知道,有没有傻子来打破上面那个卖不出去的推理链条。更有趣的是,小说 The Bottle Imp 的情节本身还考虑到了另外一些非常机智的转折。可能会出现一些对许愿瓶上了瘾、根本不在乎入地狱的人,他或许不相信有地狱,或许已经犯过不可饶恕的滔天大罪,觉得自己反正都得下地狱。还有这么一种可能:有人发现即使你用 1 分钱买下了这个瓶子,这也不是完全无解——你可以把瓶子卖掉其它国家去。由于汇率的原因,在其它国家里你或许能找到比 1 分钱更低的价格。这样卖瓶子是否合法并不重要,只要有人相信他是合法的就够了。他的存在,或者有人相信有这样的人的存在,或者有人相信有人相信有这样的人存在,都足以打破上面的那个推理链条。

Leave Comment